Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 156 Sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

Bài 1 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

Tìm số gia của hàm số \ ( f ( x ) = x ^ 3 \ ), biết rằng :
a ) \ ( x_0 = 1 ; ∆ x = 1 \ )

b) \(x_0= 1; ∆x = -0,1\)

Lời Giải:

a ) \ ( ∆ y = f ( x_0 + ∆ x ) – f ( x_0 ) = f ( 2 ) – f ( 1 ) = 2 ^ 3-1 ^ 3 = 7 \ ) .
b ) \ ( ∆ y = f ( x_0 + ∆ x ) – f ( x_0 ) = f ( 0,9 ) – f ( 1 ) \ ) = \ ( \ left ( \ frac { 9 } { 10 } \ right ) ^ { 3 } – 1 ^ 3 = \ ) \ ( \ frac { 729 } { 1000 } – 1 = – 0,271 \ ) .

Bài 2 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11

Tính \ ( ∆ y \ ) và \ ( { { \ Delta y } \ over { \ Delta x } } \ ) của những hàm số sau theo \ ( x \ ) và \ ( ∆ x \ ) :
a ) \ ( y = 2 x – 5 \ ) ; b ) \ ( y = x ^ 2 – 1 \ ) ;
c ) \ ( y = 2 x ^ 3 \ ) ; d ) \ ( y = { 1 \ over x } \ ) .

Trả lời:

a ) \ ( ∆ y = f ( x + ∆ x ) – f ( x ) = 2 ( x + ∆ x ) – 5 – ( 2 x – 5 ) = 2 ∆ x \ ) và \ ( { { \ Delta y } \ over { \ Delta x } } = { { 2 \ Delta x } \ over { \ Delta x } } = 2 \ ) .
b ) \ ( \ Delta y = f ( \ Delta x + x ) – f ( x ) = { ( x + \ Delta x ) ^ 2 } – 1 – ( { x ^ 2 } – 1 ) \ )
\ ( = 2 x. \ Delta x + { ( \ Delta x ) ^ 2 } = \ Delta x ( 2 x + \ Delta x ) \ ) và \ ( { { \ Delta y } \ over { \ Delta x } } = { { \ Delta x \ left ( { 2 { \ rm { x } } + \ Delta x } \ right ) } \ over { \ Delta x } } = 2 { \ rm { x + } } \ Delta { \ rm { x } } \ )
c ) \ ( ∆ y = f ( x + ∆ x ) – f ( x ) = 2 ( x + ∆ x ) ^ 3 – 2 x ^ 3 \ ) = \ ( 6 { x ^ 2 } \ Delta x + 6 x { ( \ Delta x ) ^ 2 } + 2 { ( \ Delta x ) ^ 3 } = 2 \ Delta x. ( 3 { x ^ 2 } + 3 x \ Delta x + { ( \ Delta x ) ^ 2 } ) \ ) và \ ( { { \ Delta y } \ over { \ Delta x } } = { { 2 \ Delta x \ left [ { 3 { { \ rm { x } } ^ 2 } – 3 { \ rm { x } } \ Delta x + \ Delta { x ^ 2 } } \ right ] } \ over { \ Delta x } } \ ) \ ( = 6 x ^ 2 + 6 x ∆ x + 2 ( ∆ x ) ^ 2 \ ) .
d ) \ ( ∆ y = f ( x + ∆ x ) – f ( x ) = \ ) \ ( – { 1 \ over x } + { 1 \ over { x + \ Delta x } } = { { x – \ Delta x – x } \ over { x \ left ( { x + \ Delta x } \ right ) } } = – { { \ Delta x } \ over { x \ left ( { x + \ Delta x } \ right ) } } \ )
\ ( { { \ Delta y } \ over { \ Delta x } } = { 1 \ over { \ left ( { x + \ Delta x } \ right ) x } } \ )

Bài 3 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

Tính ( bằng định nghĩa ) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại những điểm đã chỉ ra :
a ) \ ( y = x ^ 2 + x \ ) tại \ ( x_0 = 1 \ ) ;
b ) \ ( y = \ frac { 1 } { x } \ ) tại \ ( x_0 = 2 \ ) ;
c ) \ ( y = \ frac { x + 1 } { x-1 } \ ) tại \ ( x_0 = 0 \ ) .

Giải:

a ) Giả sử \ ( ∆ x \ ) là số gia của số đối tại \ ( x_0 = 1 \ ). Ta có :
\ ( ∆ y = f ( 1 + ∆ x ) – f ( 1 ) = ( 1 + ∆ x ) ^ 2 + ( 1 + ∆ x ) – ( 1 ^ 2 + 1 ) \ )
\ ( = 3 ∆ x + ( ∆ x ) ^ 2 \ )
\ ( \ frac { \ Delta y } { \ Delta x } = 3 + ∆ x \ ) ; \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { \ Delta x \ to 0 } { { \ Delta y } \ over { \ Delta x } } = \ mathop { \ lim } \ limits_ { \ Delta x \ to 0 } ( 3 + \ Delta x ) = 3 \ )
Vậy \ ( f ‘ ( 1 ) = 3 \ ) .
b ) Giả sử \ ( ∆ x \ ) là số gia của số đối tại \ ( x_0 = 2 \ ). Ta có :
\ ( ∆ y = f ( 2 + ∆ x ) – f ( 2 ) = \ frac { 1 } { 2 + \ Delta x } – \ frac { 1 } { 2 } = – \ frac { \ Delta x } { 2 \ left ( 2 + \ Delta x \ right ) } \ ) ;
\ ( \ frac { \ Delta y } { \ Delta x } \ ) = – \ ( \ frac { 1 } { 2 \ left ( 2 + \ Delta x \ right ) } \ ) ; \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { \ Delta x \ to 0 } { { \ Delta y } \ over { \ Delta x } } = \ mathop { \ lim } \ limits_ { \ Delta x \ to 0 } \ left ( { – { 1 \ over { 2. ( 2 + \ Delta x ) } } } \ right ) = – { 1 \ over 4 } \ )
Vậy \ ( f ‘ ( 2 ) = – \ frac { 1 } { 4 } \ ) .
c ) Giả sử \ ( ∆ x \ ) là số gia của số đối tại \ ( x_0 = 0 \ ). Ta có :
\ ( ∆ y = f ( ∆ x ) – f ( 0 ) = \ frac { \ Delta x + 1 } { \ Delta x-1 } – ( – 1 ) = \ frac { 2 \ Delta x } { \ Delta x-1 } \ ) ;
\ ( \ frac { \ Delta y } { \ Delta x } \ ) = \ ( \ frac { 2 } { \ Delta x-1 } \ ) ; \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { \ Delta x \ rightarrow 0 } \ ) \ ( \ frac { \ Delta y } { \ Delta x } \ ) = \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { \ Delta x \ rightarrow 0 } \ ) \ ( \ frac { 2 } { \ Delta x-1 } = – 2 \ ) .
Vậy \ ( f ‘ ( 0 ) = – 2 \ ) .

Bài 4 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11

Chứng minh rằng hàm số

\(f(x) = \left\{ \matrix{
{(x – 1)^2}\text{ nếu }x \ge 0 \hfill \cr
– {x^2}\text { nếu } x < 0 \hfill \cr} \right.\)

không có đạo hàm tại điểm \ ( x = 0 \ ) nhưng có đạo hàm tại điểm \ ( x = 2 \ ) .

Giải:

Ta có \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ rightarrow 0 ^ { + } } f ( x ) = \ ) \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ rightarrow 0 ^ { + } } ( x – 1 ) ^ 2 = 1 \ ) và \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ rightarrow 0 ^ { – } } f ( x ) = \ ) \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ rightarrow 0 ^ { – } } ( – x ^ 2 ) = 0 \ ) .
vì \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ rightarrow 0 ^ { + } } f ( x ) ≠ \ ) \ ( \ mathop { \ lim } \ limits_ { x \ rightarrow 0 ^ { – } } \ ) nên hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) gián đoạn tại \ ( x = 0 \ ), do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm \ ( x = 0 \ ) .

Ta có \(\mathop{ \lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\) \( \frac{f\left ( 2+\Delta x \right )-f\left ( 2 \right )}{\Delta x}\) = \( \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\) \( \frac{\left ( 1+\Delta x \right )^{2}-1^{2}}{\Delta x}\) = \( \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0} (2 + ∆x) = 2\).

Vậy hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) có đạo hàm tại \ ( x = 2 \ ) và \ ( f ‘ ( 2 ) = 2 \ ) .

Giaibaitap.me

Bài viết liên quan
0328593268
icons8-exercise-96 chat-active-icon