Giải bài 1, 2, 3, 4 trang 100, 101 SGK Giải tích 12

Bài 1 trang 100-SGK Giải tích 12

Trong những hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại ?
a ) \ ( e ^ { – x } \ ) và \ ( – e ^ { – x } \ ) ; b ) \ ( sin2x \ ) và \ ( sin ^ 2 x \ )

c) \((1-\frac{2}{x})^{2}e^{x}\)  và \((1-\frac{4}{x})e^{x}\)

Giải

a ) \ ( e ^ { – x } \ ) và \ ( – e ^ { – x } \ ) là nguyên hàm của nhau, vì :
\ ( ( { e ^ { – x } } ) ‘ = { e ^ { – x } } \ left ( { – 1 } \ right ) = – { e ^ { – x } } \ ) và \ ( ( – { e ^ { – x } } ) ‘ = \ left ( { – 1 } \ right ) ( – { e ^ { – x } } ) = { e ^ { – x } } \ )
b ) \ ( sin ^ 2 x \ ) là nguyên hàm của \ ( sin2x \ ), vì :
\ ( \ left ( { si { n ^ 2 } x } \ right ) ‘ { \ rm { } } = { \ rm { } } 2 sinx. \ left ( { sinx } \ right ) ‘ = 2 sinxcosx = sin2x \ )
c ) \ ( ( 1 – \ frac { 4 } { x } ) e ^ { x } \ ) là một nguyên hàm của \ ( ( 1 – \ frac { 2 } { x } ) ^ { 2 } e ^ { x } \ ) vì :
\ ( ( { ( 1 – \ frac { 4 } { x } ) e ^ { x } ) } ‘ \ ) = \ ( \ frac { 4 } { x ^ { 2 } } e ^ { x } + ( 1 – \ frac { 4 } { x } ) e ^ { x } \ ) = \ ( \ left ( 1 – \ frac { 4 } { x } + \ frac { 4 } { x ^ { 2 } } \ right ) e ^ { x } \ ) = \ ( ( 1 – \ frac { 2 } { x } ) ^ { 2 } e ^ { x } \ )

Bài 2 trang 100-101-SGK Giải tích 12

Tìm nguyên hàm của những hàm số sau ?
a ) \ ( f ( x ) = \ frac { x + \ sqrt { x } + 1 } { ^ { \ sqrt [ 3 ] { x } } } \ ) ; b ) \ ( f ( x ) = \ frac { 2 ^ { x } – 1 } { e ^ { x } } \ )
c ) \ ( f ( x ) = \ frac { 1 } { sin ^ { 2 } x.cos ^ { 2 } x } \ ) ; d ) \ ( f ( x ) = sin5x. cos3x \ )
e ) \ ( f ( x ) = tan ^ 2 x \ ) g ) \ ( f ( x ) = e ^ { 3-2 x } \ )
h ) \ ( f ( x ) = \ frac { 1 } { ( 1 + x ) ( 1-2 x ) } \ ) ;

Giải 

a ) Điều kiện \ ( x > 0 \ ). Thực hiện chia tử cho mẫu ta được :
\ ( f ( x ) = \ frac { x + x ^ { \ frac { 1 } { 2 } } + 1 } { x ^ { \ frac { 1 } { 3 } } } \ ) = \ ( x ^ { 1 – \ frac { 1 } { 3 } } + x ^ { \ frac { 1 } { 2 } – \ frac { 1 } { 3 } } + x ^ { – \ frac { 1 } { 3 } } \ ) = \ ( x ^ { \ frac { 2 } { 3 } } + x ^ { \ frac { 1 } { 6 } } + x ^ { – \ frac { 1 } { 3 } } \ )
\ ( ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x ^ { \ frac { 2 } { 3 } } + x ^ { \ frac { 1 } { 6 } } + x ^ { – \ frac { 1 } { 3 } } ) dx \ ) = \ ( \ frac { 3 } { 5 } x ^ { \ frac { 5 } { 3 } } + \ frac { 6 } { 7 } x ^ { \ frac { 7 } { 6 } } + \ frac { 3 } { 2 } x ^ { \ frac { 2 } { 3 } } \ ) + C
b ) Ta có \ ( f ( x ) = \ frac { 2 ^ { x } – 1 } { e ^ { x } } \ ) = \ ( ( \ frac { 2 } { e } ) ^ { x } \ ) \ ( – e ^ { – x } \ )
; do đó nguyên hàm của \ ( f ( x ) \ ) là :
\ ( F ( x ) = \ frac { ( \ frac { 2 } { e } ) ^ { x } } { ln \ frac { 2 } { e } } + e ^ { – x } + C \ ) = \ ( \ frac { 2 ^ { x } } { e ^ { x } ( ln2 – 1 ) } + \ frac { 1 } { e ^ { x } } + C \ ) = \ ( \ frac { 2 ^ { x } + ln2-1 } { e ^ { x } ( ln2-1 ) } + C \ )
c ) Ta có \ ( f ( x ) = \ frac { 1 } { sin ^ { 2 } x.cos ^ { 2 } x } = \ frac { 4 } { sin ^ { 2 } 2 x } \ )
hoặc \ ( f ( x ) = \ frac { 1 } { cos ^ { 2 } x.sin ^ { 2 } x } = \ frac { 1 } { cos ^ { 2 } x } + \ frac { 1 } { sin ^ { 2 } x } \ )
Do đó nguyên hàm của \ ( f ( x ) \ ) là \ ( F ( x ) = – 2 cot2x + C \ )
d ) Áp dụng công thức biến tích thành tổng :
\ ( f ( x ) = sin5xcos3x = \ frac { 1 } { 2 } ( sin8x + sin2x ) \ ) .
Vậy nguyên hàm của hàm số \ ( f ( x ) \ ) là
\ ( F ( x ) \ ) = \ ( – \ frac { 1 } { 4 } \ ) ( \ ( \ frac { 1 } { 4 } cos8x + cos2x ) + C \ )
e ) Ta có \ ( tan ^ { 2 } x = \ frac { 1 } { cos ^ { 2 } x } – 1 \ )
vậy nguyên hàm của hàm số f ( x ) là \ ( F ( x ) = tanx – x + C \ )
g ) Ta có \ ( \ int { { e ^ { 3 – 2 x } } } dx = – { 1 \ over 2 } \ int { { e ^ { 3 – 2 x } } } d ( 3 – 2 x ) = – { 1 \ over 2 } { e ^ { 3 – 2 x } } + C \ )
h ) Ta có : \ ( \ int \ frac { dx } { ( 1 + x ) ( 1-2 x ) ) } = \ frac { 1 } { 3 } \ int ( \ frac { 1 } { 1 + x } + \ frac { 2 } { 1-2 x } ) dx \ )
= \ ( \ frac { 1 } { 3 } ( ln \ left | 1 + x \ right | ) – ln \ left | 1-2 x \ right | ) + C \ )
= \ ( \ frac { 1 } { 3 } ln \ left | \ frac { 1 + x } { 1-2 x } \ right | + C \ ) .

Bài 3 Trang 101- SGK Giải tích 12

Sử dụng giải pháp biến số, hãy tính :

a)  \(∫{(1-x)}^9dx\)   (đặt \(u =1-x\) ) ;

b ) \ ( ∫ x { ( 1 + { x ^ 2 } ) ^ { { 3 \ over 2 } } } dx \ ) ( đặt \ ( u = 1 + x ^ 2 \ ) )
c ) \ ( ∫ cos ^ 3 xsinxdx \ ) ( đặt \ ( t = cosx \ ) )
d ) \ ( \ int \ frac { dx } { e ^ { x } + e ^ { – x } + 2 } \ ) ( đặt \ ( u = e ^ x + 1 \ ) )

Giải

a ) Cách 1 : Đặt \ ( u = 1 – x \ Rightarrow du = – dx \ ). Khi đó ta được \ ( – \ int u ^ { 9 } du = – \ frac { 1 } { 10 } u ^ { 10 } + C \ )
Suy ra \ ( \ int ( 1 – x ) ^ { 9 } dx = – \ frac { ( 1 – x ) ^ { 10 } } { 10 } + C \ )
Cách 2 : \ ( \ smallint { \ left ( { 1 – x } \ right ) ^ 9 } dx = – \ smallint { \ left ( { 1 – x } \ right ) ^ { 9 } } d \ left ( { 1 – x } \ right ) = \ ) \ ( – \ frac { ( 1 – x ) ^ { 10 } } { 10 } + C \ )
b ) Cách 1 : Tương tự cách 1 phần a .
Cách 2 : \ ( \ int x ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { \ frac { 3 } { 2 } } dx \ ) = \ ( \ frac { 1 } { 2 } \ int ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { \ frac { 3 } { 2 } } d ( 1 + x ^ 2 { } ) \ )
= \ ( \ frac { 1 } { 2 }. \ frac { 2 } { 5 } ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { \ frac { 5 } { 2 } } + C \ ) = \ ( \ frac { 1 } { 5 }. ( 1 + x ^ { 2 } ) ^ { \ frac { 5 } { 2 } } + C \ )
c ) \ ( ∫ cos ^ 3 xsinxdx = – ∫ cos ^ 3 xd ( cosx ) \ )
\ ( = – \ frac { 1 } { 4 }. cos ^ { 4 } x + C \ )
d ) \ ( \ int \ frac { dx } { e ^ { x } + e ^ { – x } + 2 } \ ) = \ ( \ int \ frac { e ^ { x } } { e ^ { 2 x } + 2 e ^ { x } + 1 } dx \ ) = \ ( \ int \ frac { d ( e ^ { x } + 1 ) } { ( e ^ { x } + 1 ) ^ { 2 } } dx \ )
= \ ( \ frac { – 1 } { e ^ { x } + 1 } + C \ ) .

Bài 4 trang 101- SGK Toán Giải tích 12

Sử dụng giải pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính :
a ) \ ( ∫ xln ( 1 + x ) dx \ ) ; b ) \ ( \ int { ( { x ^ 2 } + 2 x + 1 ) { e ^ x } dx } \ )
c ) \ ( ∫ xsin ( 2 x + 1 ) dx \ ) ; d ) \ ( \ int ( 1 – x ) cosxdx \ )

Giải

a ) Áp dụng chiêu thức tìm nguyên hàm từng phần :
Đặt \ ( u = ln ( 1 + x ) \ )
\ ( dv = xdx \ )
\ ( \ Rightarrow du = \ frac { 1 } { 1 + x } dx \ ), \ ( v = \ frac { x ^ { 2 } – 1 } { 2 } \ )
Ta có : \ ( ∫ xln ( 1 + x ) dx = \ frac { 1 } { 2 }. ( x ^ { 2 } – 1 ) ln ( 1 + x ) \ ) \ ( – \ frac { 1 } { 2 } \ int ( x-1 ) dx ) \ )
\ ( = \ frac { 1 } { 2 }. ( x ^ { 2 } – 1 ) ln ( 1 + x ) – \ frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 } + \ frac { x } { 2 } + C \ )
b ) Tìm nguyên hàm t4ừng phần hai lần :
Đặt \ ( u = ( { x ^ 2 } + 2 x – 1 ) \ ) và \ ( dv = e ^ xdx \ )
Suy ra \ ( du = ( 2 x + 2 ) dx \ ), \ ( v = e ^ x \ )
. Khi đó :
\ ( \ int { ( { x ^ 2 } + 2 x { \ rm { } } – { \ rm { } } 1 ) { e ^ x } dx } \ ) = \ ( ( { x ^ 2 } + 2 x { \ rm { } } – { \ rm { } } 1 ) { e ^ x } \ ) – \ ( \ int { ( 2 x + 2 ) { e ^ x } dx } \ )
Đặt : \ ( u = 2 x + 2 \ ) ; \ ( dv = { e ^ x } dx \ )
\ ( \ Rightarrow du = 2 dx ; v = { e ^ x } \ )
Khi đó : \ ( \ int { ( 2 x + 2 ) { e ^ x } dx } \ ) \ ( = { ( 2 x + 2 ) { e ^ x } } \ ) \ ( – 2 \ int { { e ^ x } dx } \ ) \ ( = { \ rm { } } { e ^ x } \ left ( { 2 x + 2 } \ right ) { \ rm { } } – { \ rm { } } 2 { e ^ x } + C \ )
Vậy : \ ( \ int { ( { x ^ 2 } + 2 x { \ rm { } } – { \ rm { } } 1 ) { e ^ x } dx } = { e ^ x } ( { x ^ 2 } – 1 ) { \ rm { } } + { \ rm { } } C \ )
c ) Đặt \ ( u = x \ ) ; \ ( dv = sin ( 2 x + 1 ) dx \ )

\(\eqalign{
& \int {x\sin \left( {2x + 1} \right) = – {1 \over 2}x\cos \left( {2x + 1} \right)} + {1 \over 2}\int {\cos \left( {2x + 1} \right)dx} \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = – {1 \over 2}x\cos \left( {2x + 1} \right) + {1 \over 4}\sin \left( {2x + 1} \right) + C \cr} \)

d ) Đặt \ ( u = 1 – x \ ) ; \ ( dv = cosxdx \ )

\(\eqalign{
& \int {\left( {1 – x} \right)\cos xdx = \left( {1 – x} \right)\sin x + \int {\sin xdx} } \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {1 – x} \right)\sin x – \cos x + C \cr} \)

Giaibaitap.me

Bài viết liên quan
0328593268
icons8-exercise-96 chat-active-icon